O Último Teorema de Fermat

10/06/2024

O último teorema de Fermat (edição de bolso)

O Último Teorema de Fermat é uma proposição no campo da teoria dos números, formulada pelo matemático francês Pierre de Fermat em 1637. O teorema afirma que não existem três números inteiros positivos

a

b

c

que satisfaçam a equação:

$a^n + b^n = c^n$

para qualquer valor de $n$ maior que 2. Em outras palavras, a equação não tem soluções em inteiros positivos se $n$ for um inteiro maior que 2.

História e Contexto

Pierre de Fermat escreveu esta conjectura na margem de uma cópia de um livro antigo, "Arithmetica" de Diofanto, e adicionou que tinha uma "demonstração verdadeiramente maravilhosa" para o teorema, mas que a margem era estreita demais para contê-la. Durante séculos, a conjectura permaneceu sem prova, sendo um dos problemas mais famosos e intrigantes da matemática.

Tentativas de Prova

Durante mais de 350 anos, muitos matemáticos tentaram provar ou refutar o teorema, mas sem sucesso. A dificuldade em provar o teorema fez com que ele se tornasse um dos mais notórios problemas não resolvidos em matemática.

Prova Final

O teorema foi finalmente provado pelo matemático britânico Andrew Wiles, com a ajuda de Richard Taylor, em 1994. A prova de Wiles não seguiu os métodos diretos de aritmética que Fermat poderia ter usado, mas sim técnicas modernas da teoria dos números, envolvendo formas modulares e curvas elípticas. A prova é extremamente complexa e se estende por mais de 100 páginas.

Importância

A prova do Último Teorema de Fermat não só resolveu um mistério matemático secular, mas também abriu novas áreas de pesquisa e interconexões dentro da matemática moderna. A utilização de conceitos avançados e a ligação entre diferentes áreas da matemática mostraram a profundidade e a beleza da teoria dos números.

Resumo

Enunciado: Não existem inteiros positivos $a$ , $b$ e $c$ tais que $a^n + b^n = c^n$ para $n > 2$ .
Formulado por: Pierre de Fermat em 1637.
Prova Final: Concluída por Andrew Wiles em 1994, utilizando formas modulares e curvas elípticas.
Impacto: Revolucionou a teoria dos números e demonstrou a interconexão entre diferentes áreas da matemática.

Prova do Último Teorema de Fermat

O Problema

O Último Teorema de Fermat, enunciado por Pierre de Fermat no século XVII, afirma que a equação:

$a^n + b^n = c^n$

não possui soluções em números inteiros positivos $a$ , $b$ e $c$ quando $n$ é um inteiro maior que 2.

Tentativas de Solução

Por mais de 350 anos, o teorema permaneceu sem prova, desafiando matemáticos de todo o mundo. Várias abordagens foram tentadas, mas nenhuma conseguiu provar o teorema de forma conclusiva.

Andrew Wiles e a Prova

Andrew Wiles, um matemático britânico, apresentou uma prova completa do Último Teorema de Fermat em 1994. Sua prova não seguiu os métodos diretos de aritmética, mas utilizou conceitos avançados da teoria dos números, em particular a conexão entre formas modulares e curvas elípticas.

Principais Elementos da Prova

Curvas Elípticas: São equações algébricas que descrevem uma forma particular de curva. São fundamentais na teoria dos números.
Formas Modulares: São funções complexas que possuem uma simetria particular e estão profundamente conectadas às curvas elípticas.
Teorema de Taniyama-Shimura-Weil: Estabelece uma correspondência entre formas modulares e curvas elípticas. A prova de Wiles baseou-se na demonstração deste teorema para uma classe especial de curvas elípticas chamadas curvas semiestáveis.

A Abordagem de Wiles

Andrew Wiles trabalhou em segredo por muitos anos antes de apresentar sua prova. Ele mostrou que uma classe especial de curvas elípticas, conhecidas como curvas semiestáveis, são todas modulares. A ligação entre o Último Teorema de Fermat e as curvas elípticas foi estabelecida anteriormente por outros matemáticos, que mostraram que a veracidade do Último Teorema de Fermat implicaria na modularidade dessas curvas elípticas. Portanto, ao provar a modularidade dessas curvas, Wiles provou o Último Teorema de Fermat.

Correção e Validação

Após a apresentação inicial da prova, foram encontrados alguns erros. Wiles, juntamente com seu ex-aluno Richard Taylor, corrigiu esses erros em 1995, e a prova foi então aceita pela comunidade matemática como correta.

Impacto e Significado

A prova do Último Teorema de Fermat foi um marco na história da matemática. Ela não apenas resolveu um problema secular, mas também impulsionou avanços significativos na teoria dos números e na matemática em geral. A abordagem inovadora de Wiles, utilizando ferramentas modernas como formas modulares e curvas elípticas, demonstrou a profunda interconexão entre diferentes áreas da matemática.

Conclusão

Teorema: Não existem inteiros positivos $a$ , $b$ e $c$ tais que $a^n + b^n = c^n$ para $n > 2$ .
Provado por: Andrew Wiles em 1994, com a ajuda de Richard Taylor.
Métodos: Utilização de curvas elípticas, formas modulares e o Teorema de Taniyama-Shimura-Weil.
Significado: Resolveu um dos problemas mais antigos e famosos da matemática, demonstrando a conexão profunda entre diferentes áreas da teoria dos números.

A resolução do Último Teorema de Fermat é um testemunho da perseverança humana e da evolução do pensamento matemático.

Autor: José Darci Rodrigues Junior